Ingleton 不等式在亚循环群中成立而在超可解群中不成立

Ingleton 不等式首次出现于拟阵理论中，Ingleton 于 1971 年证明了来自四子集上可表示拟阵的每个秩函数都满足一个特定的不等式。由于该不等式不能由次模性或仅由 Shannon 型公理推导出，它及其各种类似物在数学多个领域中分离线性和非线性现象时发挥了核心作用。有限群的 Ingleton 不等式涉及四个子群的各种交集。它对有限群的许多四子群组成立，但并非全部成立，最小的例子是 $S_5$（阶为 120）的四个子群。Ingleton 不等式是否始终在亚循环群和幂零群中成立是一个开放问题。（文献中存在 Oggier 和 Stancu 的一个证明，但他们的证明中存在一个已知问题，我们在本文中予以解决。）在本文中，我们证明 Ingleton 不等式始终在亚循环群中成立，但在超可解群中不成立，超可解群是仅比幂零群稍大的一类群。尽管我们在此未解决幂零群的情形，但我们确实做了一些约化，并证明了阶小于 1024 的幂零群不存在违反 Ingleton 不等式的情形。最后，我们列出了阶至多为 1023 的违反 Ingleton 不等式的群。本文附带了一个 Magma 包，允许复现论文中的所有结果，并供读者检查任意给定有限群的 Ingleton 不等式。