分段光滑动力系统中振荡器的无穷小相位响应曲线

极限环稳定流形中初始点 $x$ 的渐近相位 $\theta$ 标识了当 $t\to\infty$ 时流 $\phi_t(x)$ 所收敛到的极限环上该点的相位。无穷小相位响应曲线（iPRC）量化了由极限环轨迹的微小扰动所引起的时序变化。对于光滑动力系统中的稳定极限环，iPRC 是相位函数 $\nabla_x(\theta)$ 的梯度，可通过变分方程的伴随方程获得。对于具有不连续动力学的系统，获取 iPRC 的标准方法失效。我们推导了在任意维数分段光滑（Filipov）动力系统中出现的极限环的无穷小相位响应曲线（iPRCs）公式，并受制于横截流条件。iPRC 在分隔子域的边界处可能发生不连续跳跃，并由线性匹配条件刻画。匹配矩阵 $M$ 可由相关变分问题中出现的跳跃矩阵导出。对于远离切换边界的线性动力学的特殊情况，我们得到了 iPRC 的显式表达式。我们给出了来自细胞生物学（Glass 网络）和神经科学（中枢模式发生器模型）的示例。我们将所获得的 iPRCs 应用于研究分段光滑极限环系统中的同步与锁相，其中同步仅由于切换流形的交叉而产生。