具有除子纤维的 4 维 scrolls 的 Hilbert 曲线

在维数 $n = 2m-2 \geq 4$ 时,由于除子纤维的存在,光滑 $m$ 维流形上的伴随理论 scrolls 可能不是经典 scrolls。本文考虑 $\mathbb P^3$ 上此类的一个 $4$ 维 scroll $(X,L)$,并以两种方式确定其 Hilbert 曲线 $\Gamma$ 的方程,其中一种依赖于 $(X,L)$ 同时是不同于 $\mathbb P^3$ 的三维簇 $Y$ 上的经典 scroll 这一事实。结果表明 $\Gamma$ 不能感知除子纤维。我们得到的方程还表明,Beltrametti、Lanteri 与 Sommese 在先前文章中提出的一个问题,对于三维簇上的非经典 scrolls 一般而言答案为否。更确切地说,$(X,L)$ 的答案依其被视为伴随理论 scroll 还是经典 scroll 而为否或是为;换言之,正是该问题的答案区分了跳跃纤维是否存在。