低密度玻色气体的基态能量：二阶上界

考虑有限盒子 $\Lambda= [0,L]^3\subset \bR^3$ 中的 $N$ 个玻色子，它们通过两体非负软势 $V= \lambda \tilde V$ 相互作用，其中 $\tilde V$ 固定且 $\lambda>0$ 很小。我们在保持密度 $\varrho= N/L^{3}$ 固定且很小的情况下取极限 $L, N \to \infty$。我们构造了一个变分态，给出了每个粒子的基态能量 $\e$ 的上界 \e \le 4\pi\varrho a \Big [1+ \frac{128}{15\sqrt{\pi}}(\varrho a^3)^{1/2}S_\lambda \Big ] + O(\varrho^2|\log\varrho|), \quad {as $\varrho\to 0$} 其中常数满足 $$1\leq S_\lambda \leq 1+C\lambda.$$ 这里 $a$ 是 $V$ 的散射长度，因此依赖于 $\lambda$。相比之下，Lee-Yang \cite{LYang} 和 Lee-Huang-Yang \cite{LHY} 的预测断言 $S_\lambda=1$ 且与 $\lambda$ 无关。