稀薄玻色气体的自由能：下界

我们推导了密度为 $\rho$、温度为 $T$ 的均匀玻色气体自由能（单位体积）的下界。在稀薄 regime，即当 $a^3\rho \ll 1$ 时，其中 $a$ 表示配对相互作用势的散射长度，我们的界按首项与无相互作用粒子的表达式相差项 $4\pi a (2\rho^2 - [\rho-\rho_c]_+^2)$。这里，$\rho_c(T)$ 表示（无相互作用气体的）玻色-爱因斯坦凝聚的临界密度，$[ ]_+$ 表示正部。我们的界在温度上是一致的，直至临界温度量级的温度，即 $T \sim \rho^{2/3}$ 或更低。证明中的关键要素之一是使用相干态将 [arXiv:math-ph/0601051] 中引入的、用于估计关联的方法推广到低于临界温度的情形。