CMC爱因斯坦流中的基态与长时间演化

设(g,K)(k)是紧致三维流形M上的CMC（真空）爱因斯坦流，其Yamabe不变量Y(M)非正。如Fischer和Moncrief所指出的，约化体积V(k)=(-k/3)^{3}Vol_{g(k)}(M)在膨胀方向上单调递减，且下界为V_{\inf}=(-1/6)Y(M))^{3/2}。受此启发，我们将流形M的基态定义为满足以下条件的任意CMC态序列{(g_{i},K_{i})}的“极限”：i. k_{i}=-3，ii. V_{i} --> V_{\inf}，iii. Q_{0}((g_{i},K_{i}))< L，其中Q_{0}是Bel-Robinson能量，L是任意正常数。我们证明（作为几何态）基态等价于M的Thurston几何化。基态自然地分为三类。我们为每一类提供了例子，包括一个我们详细分析的新基态（双尖点）。最后，考虑一个长时间且宇宙学归一化的流(\g,\K)(s)=((-k/3)^{2}g,(-k/3))K)，其中s=-ln(-k)属于[a,\infty)。我们证明，如果E_{1}=E_{1}((\g,\K))< L（其中E_{1}=Q_{0}+Q_{1}，是零阶和一阶Bel-Robinson能量之和），则流(\g,\K)(s)持续地将三维流形M几何化，并且当V --> V_{\inf}时，该几何化即为基态。