多边形锥体的几何结构与 Wachspress 猜想的反例

多边形锥体（polycon）最初由 Wachspress 于 1975 年作为有限元方法中的工具引入，作为多边形的推广，允许圆锥边界组件。我们关注给定 polycon 的伴随曲线，即在所谓的残差安排中vanishing 的最低次数的唯一曲线。Wachspress 猜想认为，在某些规律性假设下，该曲线不会在其定义 polycon 的内部消失。然而，直到最近，唯一已证明 polycon 满足这一猜想的类仅为凸多边形。我们提出一个由三个圆锥组成的 polycon，构成 Wachspress 猜想的反例。该反例的来源揭示了 polycon 的美丽几何结构。将 polycon 的一个二次边界组件替换为直线会产生新的 polycon。我们证明，后者的伴随曲线是前者伴随曲线的接触曲线。这自然导致对称线性行列式表示 of adjoints 的考虑，这使我们能够明确描述由三个圆锥界定的 polycon 的伴随映射的纤维。在此作为一个推论，我们证明了三个圆锥界定的 polycon 的伴随曲线在一般情况下是光滑的。