F$_4$-模型的几何

我们研究满足Tate算法第8步条件的椭圆纤维化的几何。我们称此类几何为F$_4$-模型(F$_4$-models)，因为其特殊纤维的对偶图是扭曲仿射Dynkin图$\widetilde{\text{F}}_4^t$。这些几何在弦论中用于在与基的底的光滑除子$S$上建模具有例外李群F$_4$的规范理论。从F$_4$-模型的奇异Weierstrass模型出发，我们给出其奇点的crepant分解。我们研究该光滑椭圆纤维化的纤维结构，并将这些纤维除子同构地识别为$S$上的概型。它们是$S$上的$\mathbb{P}^1$-丛或$S$上的$\mathbb{P}^1$-丛的双层覆盖。我们计算基本拓扑不变量，如纤维除子的双重和三重交集数以及F$_4$-模型的欧拉示性数。在Calabi-Yau三重的情况下，我们计算由第二Chern类诱导的线性形式以及Hodge数。我们还探讨了这些几何对于具有八个超荷的五维和六维极小超引力理论中规范理论物理的意义。我们引入‘冻结表示’(frozen representations)的概念，并探讨Stein分解(Stein factorization)在椭圆纤维化纤维除子研究中的作用。