正方形上阻尼波动方程中的几何量

当正方形膜 $\Omega$ 的子集 $\omega\subset \Omega$ 上受到恒定粘性阻尼时，只要 $\omega$ 满足被称为“Bardos-Lebeau-Rauch”条件的几何条件，其能量随时间呈指数衰减。该衰减的速率 $\tau(\omega)$ 满足 $\tau(\omega)= 2 \min(-\mu(\omega), g(\omega))$（参见 Lebeau [Math. Phys. Stud. 19 (1996) 73-109]）。这里 $\mu(\omega)$ 表示阻尼波动方程算子的谱横坐标，而 $g(\omega)$ 是一个称为 $\omega$ 的几何量的数字，其定义如下：$\Omega$ 中的射线是指在 $\Omega$ 中作自由运动并在边界上发生弹性反射的质量点的轨迹。这些反射服从几何光学定律。几何量 $g(\omega)$ 随后被定义为平均轨迹长度的上极限（大时间渐近）。我们在此给出了一种当 $\omega$ 为正方形的有限并集时显式计算 $g(\omega)$ 的算法。