半离散 Lax 表示上的规范作用及其不变量

半离散（微分-差分）矩阵 Lax 表示（Lax 对）在可积微分-差分方程理论中起着至关重要的作用。固定一个 (1+1) 维演化微分-差分（半离散）方程，并考虑该方程的矩阵 Lax 表示 (MLR)。如果两个 MLR 中的一个可以通过应用一个（局部）矩阵规范变换从另一个得到，则称它们是规范等价的。规范变换 (GT) 形成一个无限维群，该群作用在给定方程的 MLR 集合上。两个 MLR 是规范等价的，当且仅当它们属于此作用的同一轨道。当试图为一个给定方程建立可积性（在孤子理论的意义上）时，人们感兴趣的是依赖于一个参数（通常称为谱参数）的 MLR，使得该参数不能被任何 GT 移除。我们引入并研究了关于 GT 作用在给定 (1+1) 维演化微分-差分方程（具有任意分量数）的 MLR 集合上的显式不变量。利用这些不变量，我们得到以下结果：- 考虑一个带有参数 $\lambda$ 的 MLR。如果为该 MLR 计算的至少一个不变量非平凡地依赖于 $\lambda$，则该参数不能被任何 GT 移除。- 当我们对一个给定方程有两个不同的 MLR 时，我们给出了这两个 MLR 规范等价的必要条件。我们关于微分-差分方程的半离散 MLR 的结果受到 S. Yu. Sakovich 和 M. Marvan 关于偏微分方程（连续）零曲率表示的结果的启发。文中与 S. Yu. Sakovich 和 M. Marvan 的一些结果进行了比较。