三腿蜘蛛图上的箭头游戏

循环游戏是由 Francis Su 于 2020 年引入的组合游戏，玩家轮流在简单平面图的边上标记箭头，避免产生汇与源，并力求完成一个“循环胞腔”。Su 及其合作者（2021）利用反向镜像在具有某些类型对称性的图上找到了获胜策略。本文首次确定了一类缺乏对称性的无限图族上循环游戏的获胜方。具体而言，我们利用 Sprague-Grundy 定理证明，在任意腿长为奇数的三腿蜘蛛图上，玩家二拥有循环游戏的获胜策略。由于循环胞腔胜利条件对树图（包括蜘蛛图）是多余的，我们将其从规则中删去，并称结果为箭头游戏。我们的证明严重依赖于状态同构的概念，该概念使我们可以将游戏状态分解为图的小部件的状态，从而导出带 Grundy 值的 nim 和计算。