控制博弈的正常博弈

2010年，Bre\v{s}ar、Klav\v{z}ar和Rall引入了图控制博弈的优化变体及博弈控制数，Bre\v{s}ar等人于2016年证明了该问题是PSPACE困难的。2024年，Leo Versteegen获得了关于该控制博弈变体的$\frac{3}{5}$猜想的著名证明，该猜想由Kinnersley、West和Zamani于2013年提出。在本文中，我们首次研究了控制博弈的正常博弈，我们将其称为正常控制博弈，这是一种最后落子者获胜的非偏博弈。我们首先证明，即使在直径为2的图中，该博弈也是PSPACE完备的。我们还使用Sprague-Grundy理论证明了Alice（先手玩家）在路径$P_n$中获胜当且仅当$n$不是4的倍数，在环$C_n$中获胜当且仅当对于某个整数$k$有$n=4k+3$。此外，我们得到了一个多项式时间算法，用于判定正常控制博弈及其自然偏博弈变体中任意路径和环的不相交并集的获胜者。最后，我们还证明了逆向控制博弈（最后落子者输）是PSPACE完备的，正常博弈和逆向博弈的自然偏博弈变体也是如此。