Sprout 游戏的理论推广
组合数学
2023-11-07 v1
摘要
Sprout 是一种双人笔纸游戏，初始有 个顶点，玩家轮流用一条细分边连接两个已有点，且始终保持图为次三次平面图。无法移动的玩家判负。一个主要猜想声称：玩家 1 有必胜策略当且仅当 （）。该猜想已在 及少数孤立值下被验证，通常借助计算机。然而据我们所知，迄今为止在寻找该猜想的理论证明方面进展甚微。本文尝试自下而上的方法，围绕该问题建立理论。我们从推广 Conway 引入的相关游戏 Brussels Sprout（点被叉替代）入手，以助理解 Sprout。具体而言，我们引入并研究 Brussels Sprout 的广义版本：叉被具有任意数量“半边”（即广义叉）的点替代，平面图被任意（预先确定的）遗传图类替代。我们研究了该游戏在森林、曲面上的图及稀疏平面图上的情形。当遗传类取为无三角平面图且初始为两个任意广义叉时，我们还给出了游戏的尼姆数刻画。此外，在研究此特例时，我们自然遇到该游戏的圆形版本，并运用结构归纳法解决了困难的尼姆数刻画。上述证明可能为解决 Sprout 猜想提供一种途径。
引用
@article{arxiv.2311.02388,
title = {A theoretical expansion of the Sprout game},
author = {Soura Sena Das and Zin Mar Myint and Soumen Nandi and Sagnik Sen and Éric Sopena},
journal= {arXiv preprint arXiv:2311.02388},
year = {2023}
}