正则$L^0$-模中的仿射几何基本定理

设$(\Omega,{\mathcal F},P)$为概率空间,$L^0({\mathcal F})$为定义在$(\Omega,{\mathcal F},P)$上的实值随机变量等价类之代数。代数$L^0({\mathcal F})$上的左模(简称$L^0({\mathcal F})$-模)$M$称为正则的,若对$M$中任意给定两元素$x$与$y$,当存在$\Omega$到$\mathcal F$的可数划分$\{A_n,n\in \mathbb N\}$使得对每个$n\in \mathbb N$有${\tilde I}_{A_n}\cdot x={\tilde I}_{A_n}\cdot y$时,便有$x=y$,其中$I_{A_n}$为$A_n$的特征函数,${\tilde I}_{A_n}$为其等价类。本文旨在建立正则$L^0({\mathcal F})$-模中的仿射几何基本定理:设$V$与$V^\prime$为两个正则$L^0({\mathcal F})$-模,且$V$含有一个秩为$2$的自由$L^0({\mathcal F})$-子模,若$T:V\to V^\prime$是稳定且可逆的,并将每条$L^0$-线段映为一条$L^0$-线段,则$T$必为$L^0$-仿射的。