$(L^0)^n$ 中的仿射几何基本定理

设 $L^0$ 为给定概率空间上实值随机变量等价类构成的代数，对每个整数 $n\geq 2$，$(L^0)^n$ 为 $L^0$ 的 $n$ 重笛卡尔积。我们将 $(L^0)^n$ 视为 $L^0$ 上的自由模并研究其中的仿射几何。我们的主要结果之一指出：一个单射映射 $T: (L^0)^n\to (L^0)^n$，若其为局部的且将每条 $L^0$-直线映到一条 $L^0$-直线，则必为 $L^0$-仿射线性映射。另一主要结果指出：一个双射映射 $T: (L^0)^n\to (L^0)^n$，若其为局部的且将每条 $L^0$-线段映到一条 $L^0$-线段，则必为 $L^0$-仿射线性映射。这些结果将仿射几何基本定理从 $\mathbb R^n$ 推广到了 $(L^0)^n$。