循环图关联的 $S_3$ 对称三对角代数的基本模

Terwilliger 近期引入 $S_3$ 对称三对角代数，这是三对角代数的一种推广。该代数有六个生成元自然地与正六边形的顶点相关联：相邻生成子满足三对角关系，而非相邻生成子则交换。对于每个 $Q$-多项式距离正则图 $\Gamma$，我们关联标量 $\beta, \gamma, \gamma^*, \varrho, \varrho^*$，并定义相应的 $S_3$ 对称三对角代数 $\mathbb{T} = \mathbb{T}(\beta, \gamma, \gamma^*, \varrho, \varrho^*)$。设 $V$ 为 $\Gamma$ 的标准模。则张量 $V^{\otimes 3} := V \otimes V \otimes V$ 支持 $\mathbb{T}$-模结构，其中存在唯一一个不可约 $\mathbb{T}$-子模，称为基本 $\mathbb{T}$-模，记作 $\Lambda$。本文聚焦于 $\Gamma$ 为直径为 $D$ 的循环图且顶点集合为 $X$ 的情况。我们证明关联标量满足：\n\n$$\begin{align*} \beta = \zeta + \zeta^{-1}, \quad \gamma = \gamma^* = 0, \quad \varrho = \varrho^* = -(\zeta-\zeta^{-1})^2, \end{align*}$$\n\n其中 $\zeta$ 为固定的原始 $|X|$ 次单位根。我们证明\n\n\begin{align*} \operatorname{dim}(\Lambda) & = \left\{ \begin{array}{ll} \textstyle 2D^2+2 & \text{if } |X| \text{ is even}, \\ \textstyle 2D^2 + 2D +1 & \text{if } |X| \text{ is odd}, \end{array} \right\end{align*}\n\n并为 $\Lambda$ 构造两个显式基，每个基都对 $\mathbb{T}$ 的一半生成子对角化。最后，我们验证当 $\Gamma$ 为循环图时，Terwilliger 的猜想成立。