三对角对与 q-四面体代数

本文进一步发展了三对角对与 q-四面体代数 $\boxtimes_q$ 之间的联系。设 V 为代数闭域上的有限维向量空间，A, A^* 为 V 上的三对角对。对于 $0 \leq i \leq d$，令 $\theta_i$（ resp. $\theta^*_i$）表示 A（resp. A^*）特征值的标准排序。固定一个非单位根的 nonzero 标量 q。T. Ito 和 P. Terwilliger 已证明，当 $\theta_i = q^{2i-d}$ 且 $\theta^*_i = q^{d-2i}$ 时，V 上存在一个不可约 $\boxtimes_q$-模结构，使得 $\boxtimes_q$ 生成元 x_{01}, x_{23} 分别作用为 A, A^*。在本文中，我们考察存在 K 中非零标量 c 使得 $\theta_i = q^{2i-d}$ 且 $\theta^*_i = q^{2i-d} + c q^{d-2i}$ 的情形。在此情形下，我们将一个多项式 P 与 A, A^* 关联，并证明以下等价性：以下陈述等价：(i) V 上存在 $\boxtimes_q$-模结构，使得 x_{01} 作用为 A，且 x_{30} + cx_{23} 作用为 A^*，其中 x_{01}, x_{30}, x_{23} 为 $\boxtimes_q$ 的标准生成元。(ii) P(q^{2d-2} (q-q^{-1})^{-2}) \neq 0。假设 (i), (ii) 成立，则 V 上的 $\boxtimes_q$-模结构是唯一且不可约的。