q-Serre 型三对角对及其线性扰动

三对角对是非零有限维向量空间上一对可对角化线性映射的有序对，它们各自以块三对角方式作用于另一映射的特征空间。我们考虑一个 $q$-Serre 型三对角对 $(A, A^*)$；对此类对，映射 $A$ 与 $A^*$ 满足 $q$-Serre 关系。文献中存在一个线性映射 $K$，用于描述 $A$ 与 $A^*$ 如何相关联。我们研究一对线性映射 $B=A$ 与 $B^* = tA^* + (1-t)K$，其中 $t$ 为任意标量。我们的目标是给出 $(B, B^*)$ 构成三对角对的关于 $t$ 的充要条件。我们证明 $(B, B^*)$ 是三对角对当且仅当 $t \neq 0$ 且 $P \bigl( t(q-q^{-1})^{-2} \bigr)\not=0$，其中 $P$ 是依附于 $(A, A^*)$ 的某个称为 Drinfel'd 多项式的多项式。