三对角对的 Drinfel'd 多项式

设 $K$ 为一个域，$V$ 为 $K$ 上的有限正维向量空间。我们考虑一对满足以下条件的线性变换 $A:V \to V$ 和 $A^*:V \to V$：(i) $A$ 和 $A^*$ 均可对角化；(ii) 存在 $A$ 的特征空间的一个排序 $\{V_i\}_{i=0}^d$，使得对于 $0 \leq i \leq d$，有 $A^* V_i \subseteq V_{i-1} + V_{i} + V_{i+1}$，其中 $V_{-1}=0$ 且 $V_{d+1}=0$；(iii) 存在 $A^*$ 的特征空间的一个排序 $\{V^*_i\}_{i=0}^\delta$，使得对于 $0 \leq i \leq \delta$，有 $A V^*_i \subseteq V^*_{i-1} + V^*_{i} + V^*_{i+1}$，其中 $V^*_{-1}=0$ 且 $V^*_{\delta+1}=0$；(iv) 不存在 $V$ 的子空间 $W$ 使得 $AW \subseteq W$，$A^* W \subseteq W$，且 $W \neq 0$，$W \neq V$。我们将这样的一对称为 $V$ 上的{\it 三对角对}（tridiagonal pair）。已知 $d=\delta$，且对于 $0 \leq i \leq d$，$V_i$、$V_{d-i}$、$V^*_i$、$V^*_{d-i}$ 的维数相同。每当 $\dim V_0=1$ 时，称对 $A,A^*$ 为{\it 锐}（sharp）。已知若 $K$ 是代数闭域，则 $A,A^*$ 是锐的。假设 $A,A^*$ 是锐的，我们利用数据 $\Phi=(A; \{V_i\}_{i=0}^d; A^*; \{V^*_i\}_{i=0}^d)$ 定义一个次数至多为 $d$ 的单变量多项式 $P$。我们证明，如果将 $\Phi$ 替换为 $(A;\{V_{d-i}\}_{i=0}^d; A^*; \{V^*_i\}_{i=0}^d)$ 或 $(A;\{V_i\}_{i=0}^d; A^*; \{V^*_{d-i}\}_{i=0}^d)$ 或 $(A^*; \{V^*_i\}_{i=0}^d; A; \{V_i\}_{i=0}^d)$，$P$ 保持不变。我们称 $P$ 为 $A,A^*$ 的{\it Drinfel'd 多项式}。我们解释了 $P$ 与李代数和量子群理论中的经典 Drinfel'd 多项式的关系。我们期望 $P$ 的根将在未来对锐三对角对的分类中发挥作用。我们计算了当 $0 \leq i \leq d$ 时 $V_i$ 和 $V^*_i$ 维数均为 1 的情况下 $P$ 的根。