相对于 LR 三元组的三种分解为三对角的线性变换

固定整数 $d \geq 0$，域 $\mathbb{F}$，以及 $\mathbb{F}$ 上维数为 $d+1$ 的向量空间 $V$。所谓 $V$ 的分解，是指 $V$ 的 $1$ 维子空间序列 $\{V_i\}_{i=0}^d$ 且其和为 $V$。对于从 $V$ 到 $V$ 的线性变换 $A$，若对所有 $0 \leq i \leq d$ 满足 $A V_i = V_{i-1}$（其中 $V_{-1}=0$），则称 $A$ 降低 $\{V_i\}_{i=0}^d$。若对所有 $0 \leq i \leq d$ 满足 $A V_i = V_{i+1}$（其中 $V_{d+1}=0$），则称 $A$ 升高 $\{V_i\}_{i=0}^d$。若存在 $V$ 的一个被 $A$ 降低且被 $B$ 升高的分解 $\{V_i\}_{i=0}^d$，则称从 $V$ 到 $V$ 的线性变换的有序对 $A,B$ 为 LR。此时，分解 $\{V_i\}_{i=0}^d$ 由 $A,B$ 唯一确定；我们称之为 $V$ 的 $(A,B)$-分解。考虑从 $V$ 到 $V$ 的线性变换的三元组 $A$、$B$、$C$，使得 $A$、$B$、$C$ 中任意两个在 $V$ 上构成 LR 对。这样的三元组称为 $V$ 上的 LR 三元组。设 $\alpha$、$\beta$、$\gamma$ 为 $\mathbb{F}$ 中的非零标量。三元组 $\alpha A, \beta B, \gamma C$ 是 $V$ 上的 LR 三元组，称为与 $A,B,C$ 相关联的 LR 三元组。设 $\{V_i\}_{i=0}^d$ 为 $V$ 的一个分解，$X$ 为从 $V$ 到 $V$ 的线性变换。若对所有 $0 \leq i \leq d$ 满足 $X V_i \subseteq V_{i-1} + V_i + V_{i+1}$，则称 $X$ 相对于 $\{V_i\}_{i=0}^d$ 是三对角的。设 $\cal X$ 为 $\mathbb{F}$ 上的向量空间，由从 $V$ 到 $V$ 且相对于 $V$ 的 $(A,B)$、$(B,C)$ 和 $(C,A)$ 分解为三对角的线性变换构成。存在一类特殊的 LR 三元组，称为 $q$-Weyl 型。在本文中，我们为每一个不与 $q$-Weyl 型 LR 三元组关联的 LR 三元组找到了 $\cal X$ 的一个基。