连续相变处的 Fokker-Planck 算子

我考察由连续场论描述的物理系统，处于大小有限但为周期边界条件的立方体盒中。该系统假设在某临界点处发生连续相变。$\phi^4$ 理论是连续版本的 Ising 模型，属于此类系统，但还有许多其他例子对应于更高的自旋、更高的对称性等。相应的 Fokker-Planck 算子本征函数当然可以选择为动量算子的本征函数。我们证明，在有限系统的临界点的 FP 算子特征值（对应于每个特征值 q 的动量算子），当系统规模趋于无穷大时，会在零处累积。存在许多合理的方法可以定义有限系统的临界温度，这些方法随着系统规模趋于无穷大而趋于无限系统的临界温度。这种特征值的累积既不受特定临界温度选择的影响，也不受系统位于其上critical维度以下或以上之区别的影响。