无飞地竞争博弈

对于图 $G$ 中顶点的子集 $S$，若 $v \in S$ 且 $v$ 及其所有邻点均在 $S$ 中（其中 $v$ 的邻点指与 $v$ 相邻的顶点），则称 $v$ 为 $S$ 的一个飞地。若集合 $S$ 不含任何飞地，则称其为无飞地集。图 $G$ 的无飞地数 $\Psi(G)$ 是 $G$ 中无飞地集的最大基数。正如 Slater [J. Res. Nat. Bur. Standards 82 (1977), 197--202] 于 1997 年首次观察到的，若 $G$ 是含 $n$ 个顶点的图，则 $\gamma(G) + \Psi(G) = n$，其中 $\gamma(G)$ 是已被深入研究的图 $G$ 的支配数。本文中，我们继续研究由 Phillips 和 Slater [Graph Theory Notes N. Y. 41 (2001), 37--41] 于 2001 年引入的竞争-无飞地博弈，其定义如下：两名玩家轮流构造一个极大无飞地集 $S$，其中一名玩家 Maximizer 试图最大化 $|S|$，另一名玩家 Minimizer 试图最小化 $|S|$。图 $G$ 的竞争-无飞地博弈数 $\Psi_g^+(G)$ 指 Maximizer 先手且双方均最优博弈时所选出的顶点数。除其他问题外，我们研究了如下猜想：若 $G$ 是阶为 $n$ 的无孤立点图，则 $\Psi_g^+(G) \ge \frac{1}{2}n$。我们证明了该猜想对正则图和爪-free 图成立。