自由边界条件对高维Ising模型的影响

我们研究 $\mathbb{Z}^d$ 中 $d\geq4$ 有限域上具自由边界条件的临界Ising模型。在迄今仅对高维完全证明的假设——即临界无穷体积两点函数对大 $|x-y|$ 为 $|x-y|^{-(d-2)}$ 阶——下，我们证明其在具自由边界条件的大有限立方体中同样成立，只要 $x, y$ 不过于靠近边界。这通过证明具自由边界条件、线度 $L$ 的有限域中临界磁化率随 $L\rightarrow\infty$ 为 $L^2$ 阶，证实了物理文献中的数值预测。我们还证明，具自由边界条件的近临界（小外场）Ising磁化场的标准化极限为高斯型，且与临界标度极限具有相同协方差，因而关联不呈指数衰减。这与低维情形或高维体边界条件下的预期行为非常不同。