通过随机微积分与吉萨诺夫变换的哈伯德模型动力学

作为一个典型的量子多体问题，我们考虑玻色-哈伯德模型中密度矩阵元的时间演化。对于任意初态，这些量可从一个 SDE 或随机微分方程系统获得。对该 SDE 系统可应用吉萨诺夫变换。其效果是初态的所有信息都移入漂移项，即变换后系统的平均场部分。在 $N$ 很大且 $g=UN$ 固定的极限下，变换后系统的扩散部分消失，结果精确量子动力学由一个 ODE 系统给出，该系统即为含时离散 Gross Pitaevskii 方程。对于双格点玻色-哈伯德模型，GP 方程化简为数学摆，粒子不平衡等于该摆的速度，其或为振荡，或可发生翻转，后者对应自俘获或绝缘相。作为副产品，我们还发现了数学摆与四次双势阱的等价性。坍缩与复兴是更微妙的现象，要看到这些必须考虑 SDE 系统的扩散部分或量子修正。这可通过一种近似完成，坍缩与复兴可被重现，数值上以及通过解析计算均可。由于弗雷内尔或维纳扩散过程的期望（我们将密度矩阵元精确地以此形式写出）可从抛物型二阶 PDE 获得，我们也得到了各种精确的 PDE 表示。本文写作旨在提出一种量子多体系统的高效计算方案，因此该形式体系是通用的，适用于任意维度、任意跳跃矩阵，并经适当调整后适用于费米子模型。