Duistermaat 指标与对称算子自伴扩张的特征值交错

特征值交错是线性代数和谱分析中的有用工具。在其最简单形式中，交错不等式表明秩一正扰动将每个特征值向上移动，但不会超过下一个未扰动特征值。对于不同类型的扰动，该思想被称为 Weyl 交错、Cauchy 交错、Dirichlet--Neumann 括弧等。我们证明了“边界条件中的有限维扰动”的交错不等式的锐版本，表示为具有有限且相等亏指数的固定对称算子的两个自伴扩张之间谱移位的界。该界用 Duistermaat 指标给出，这是一个描述辛空间中三个拉格朗日平面的相对位置拓扑不变量。其中两个拉格朗日平面描述被比较的自伴扩张，而第三个对应于 Friedrichs 扩张，它充当参考点。在此过程中建立了若干辅助结果，包括 Duistermaat 三重指标的单侧连续性、无需唯一延拓型假设的（抽象）柯西数据空间的光滑性，以及一个非负对称算子的扩张的 Morse 指标公式。