超几何函数的对角与哈达德级数

有理函数的对角线是数论、代数几何、组合论和物理学中出现的重要函数类。本文研究函数 $f$ 的对角级数，定义为最小的 $n$ 使得 $f$ 是变量 $x_0,\dots, x_n$ 中有理函数的对角线。我们将函数的对角级数与其关联微分方程的零幂性联系起来。这使我们能够确定许多超几何函数的对角级数，并肯定了关于是否存在级数大于 2 的函数的长期问题。特别是，我们证明 $\prescript{}{n}F_{n-1}(\frac{1}{2},\dots, \frac{1}{2};1\dots,1 \mid x)$ 的对角级数为 $n$，其中 $n\geq 1$。我们的方法还适用于阿佩瑞数列的生成函数，我们发现其对角级数为 3。我们也回答了 Allouche 和 Mend\`es France 提出的关于哈达德级数的相关问题。例如，我们证明 $\prescript{}{n}F_{n-1}(\frac{1}{2},\dots, \frac{1}{2};1\dots,1 \mid x)$ 的哈达德级数为 $n$，其中 $n\geq 1$。