分歧素数的密度

设 $F$ 为一个数域，$\mathcal{O}$ 为分式域 $\mathcal{K}$ 特征为零的整环，$\rho: \mathrm{Gal}(\overline F/F) \to \mathrm{GL}_n(\mathcal{O})$ 为一个表示，使得 $\rho\otimes\overline{\mathcal{K}}$ 是半单的。若 $\mathcal{O}$ 承认一个来自系数在 $p$-进整数环中的幂级数环的有限单态射（相应地，$\mathcal{O}$ 是 $p$-进数域上的仿紧代数），且 $\rho$ 关于极大理想 adic 拓扑（相应地，Banach 代数拓扑）连续，则我们证明 $\rho$ 的分歧素数集合密度为 0。若 $\mathcal{O}$ 是 $\mathbb{Z}_p$ 上的完备局部 Noether 环且具特征 $p$ 的有限剩余类域，$\rho$ 关于极大理想 adic 拓扑连续且 $\rho$ 的纯特化核构成 $\mathrm{Spec} \mathcal{O}$ 的 Zariski 稠密子集，则我们证明 $\rho$ 的分歧素数集合密度为 0。这些结果是 Khare 与 Rajan 结果在大 Galois 表示背景下的类比，并依赖其结果得证。