族中椭圆多对数的 de Rham 实现

本文建立了多对数 de Rham 实现的几何方法。作为核心结果，我们利用阿贝尔概形与其对偶的泛向量扩张之积上的双刚性化 Poincar\'e 丛及泛可积联络，构造了有理阿贝尔概形的对数丛。这本质上是通过将所述 Poincaré 丛的数据限制在泛扩张零截面的无穷小邻域上而实现的。我们还阐明了这些构造如何在阿贝尔概形上 $\mathcal D$-模的 Fourier-Mukai 变换语言中自然表达。我们的几何视角还允许在 Poincaré 丛的标准理论框架内解释对数丛的基本形式性质。对于相对椭圆曲线，我们还通过 $1$-motives 提出了关于第一对数扩张的相关观点。在详细阐述了对数丛的上述几何理解后，我们系统地利用它来研究具有 level $N$ 结构的椭圆曲线泛族的多对数。本文的一个主要定理通过 19 世纪 Kronecker 定义的亚纯 Jacobi 形式的 Laurent 展开中出现的系数函数，给出了小椭圆多对数变体的显式解析描述。此外，利用前述结果，我们具体确定了修正多对数沿挠截面的 specialization，其表达形式为某些代数 Eisenstein 级数。由此，我们特别重新获得了由代数模形式给出的 de Rham Eisenstein 类的已知表达式。