稠密无三角形二元拟阵的临界数

我们证明，对于任意实数 $\epsilon > 0$，存在整数 $c$，使得若 $M$ 是一个满足 $|M| \ge (\tfrac{1}{4} + \epsilon) 2^{r(M)}$ 的简单无三角形二元拟阵，则 $M$ 的临界数至多为 $c$。我们还给出了一种构造，表明对于任何小于 $\tfrac{1}{4}$ 的实数，此类结果均不成立。这说明三角形的“临界阈值”为 $\tfrac 1 4$。我们将临界阈值的概念推广至每个简单二元拟阵 $N$，并猜想：若 $N$ 的临界数 $c\ge 3$，则 $N$ 的临界阈值为 $1-i\cdot 2^{-c}$，其中 $i\in \{2,3,4\}$。我们通过建立下界为该猜想提供了一些支持。