点线关联下界构造中的比例常数

令 $I(n,l)$ 表示 $n$ 个点与 $l$ 条线之间关联的最大可能数目。众所周知 $I(n,l) = \Theta(n^{2/3}l^{2/3} + n + l)$。令 $c_{\mathrm{SzTr}}$ 表示 $n^{2/3}l^{2/3}$ 项比例常数的下界。已知由 Elekes 给出的下界为 $c_{\mathrm{SzTr}} \ge 2^{-2/3} = 0.63$。通过对 Elekes 构造的轻微修改，我们证明它可以给出更好的下界 $c_{\mathrm{SzTr}} \ge 1$，即 $I(n,l) \ge n^{2/3}l^{2/3}$。此外，我们分析了 Erdős 给出的另一种构造，并证明其比例常数甚至更优，$c_{\mathrm{SzTr}} \ge 3/(2^{1/3}\pi^{2/3}) \approx 1.11$。