改进宽度为2的偏序集的1/3-2/3猜想
组合数学
2021-06-21 v2
摘要
推广Linial（1984）和Aigner（1985）的结果，我们证明了宽度为2的偏序集P的平衡常数的统一下界。该常数定义为δ(P)=max_{(x,y)∈P^2}min{ℙ(x≺y),ℙ(y≺x)}，其中ℙ(x≺y)为在P的一致随机线性扩张中x小于y的概率。特别地，我们证明若P是一个不能由单点偏序集和具有一个关系的三元素偏序集通过直和运算得到的宽度为2的偏序集，则δ(P)≥(-3+5√17)/52≈0.33876…。这部分回答了Brightwell（1999）的一个问题；完整的解决需要证明1/3-2/3猜想，即若P不是全序的则δ(P)≥1/3。此外，我们构造了宽度为2的偏序集序列T_n，其δ(T_n)→β≈0.348843…，改进了Chen（2017）的构造以及Peczarski（2017）发现的有限偏序集。Peczarski对小偏序集的数值工作表明常数β可能是最优的。
引用
@article{arxiv.1811.01500,
title = {Improving the $\frac{1}{3}-\frac{2}{3}$ Conjecture for Width Two Posets},
author = {Ashwin Sah},
journal= {arXiv preprint arXiv:1811.01500},
year = {2021}
}
备注
Incorporated referee comments