一类具有小平衡常数的偏序集

给定有限偏序集 $\mathcal P$ 及两个不同元素 $x$ 和 $y$，令 $\operatorname{pr}_{\mathcal P}(x \prec y)$ 表示 $\mathcal P$ 的线性扩展中 $x$ 先于 $y$ 的比例。偏序集 $\mathcal P$ 的平衡常数 $\delta(\mathcal P)$ 定义为 $$\delta(\mathcal P) = \max_{x \neq y \in \mathcal P} \min \left\{ \operatorname{pr}_{\mathcal P}(x \prec y), \operatorname{pr}_{\mathcal P}(y \prec x) \right\}.$$ $1/3$-$2/3$ 猜想断言，当 $\mathcal P$ 不是链时，$\delta(\mathcal P) \ge \frac13$；但除某些平凡示例外，何时取等以及平衡常数能否趋近于 $1/3$ 均属未知。本文通过展示一系列平衡常数趋近于 $\frac{1}{32}(93-\sqrt{6697}) \approx 0.3488999$ 的偏序集，回答了 Brightwell 的一个问题，从而在该猜想上取得了进展。这些偏序集提供了比任何其他已知非平凡族更小的平衡常数。