超环面层上同调的组合学

仿射超空间 $\mathbb{C}^{1 \mid n}$ 具有一个玻色坐标 $z$ 与 $n$ 个费米坐标 $\theta_1, \dots, \theta_n$。令 $M$ 为通过将 $\mathbb{C}^{1 \mid n}$ 除以由映射 $S: (z,\theta_1, \dots, \theta_n) \mapsto (z + 1, \theta_1, \dots, \theta_n)$ 与 $T: (z, \theta_1, \dots, \theta_n) \mapsto (z + t, \theta_1 + \alpha_1, \dots, \theta_n + \alpha_n)$ 生成的阿贝尔群所得到的超环面，其中 $t \in \mathbb{C}$ 具有正虚部，且 $\alpha_1, \dots, \alpha_n$ 为独立的费米参数。我们将 $M$ 的结构层 $\mathcal{O}$ 的第零与第一个上同调群计算为双分次 $\mathfrak{S}_n$-模，并展示了这些群之间 Serre 对偶的一个实例。我们利用 skein 关系与非交叉匹配，给出以生成元与关系表示的 $H^0(M,\mathcal{O})$ 的组合学呈现。