$\mathbb{P}^1$ 上由 $\mathbb{C}^{\times}$ 扩张得到的扭曲 $\mathcal{D}$-模的上同调

我们在射影直线 $\mathbb{P}^1$ 上构造了对于 $SL_2$ 的对角环面子群作用等变的扭曲 $\mathcal{D}$-模。在最有趣的情形下，这些 $\mathcal{D}$-模是由 $\mathbb{C}^{\times}$ 上的局部系统扩张得到的。我们讨论了它们的子商结构。它们的层上同调群是李代数 $\mathfrak{sl}_2$ 的权模。我们还讨论了它们的子商结构，并且在这些模不是常见的最高权模或最低权模的情况下，我们给出了它们的显式表示。我们的计算阐明了一些基本的 $\mathcal{D}$-模概念以及 Beilinson-Bernstein 等价。它们是一个研究计划的第一步，该计划旨在通过旗簇上的 $\mathcal{D}$-模来描述半单与仿射 Kac-Moody 李代数上邻近最高（或最低）权的模范畴。