十阶薄膜方程的柯西问题 II：振荡源型解与基本相似解

研究了十阶薄膜方程 (TFE-10) $u_{t} = \nabla \cdot(|u|^{n} \nabla \Delta^4 u)$ 在 $\mathbb{R}^N \times \mathbb{R}_+$ ($n>0$) 中具有标准形式 $u_\gamma(x,t)=t^{-\alpha_\gamma} f_\gamma(y)$ 的基本全局相似解，其中缩放变量 $y= x/{t^{\beta_\gamma}}$，$\beta_\gamma= \frac {1-n \alpha_\gamma}{10}$，$\alpha_\gamma>0$ 为实非线性特征值（$\gamma$ 是 $\mathbb{R}^N$ 中的多重索引）。本文延续了作者在前一篇论文 P. Alvarez-Caudevilla, J.D.Evans, 和 V.A. Galaktionov, 《十阶薄膜方程的柯西问题 I. 自相似振荡基本解的分岔》，Mediterranean Journal of Mathematics, 第 4 期，第 10 卷 (2013), 1759-1790 中开始的研究。因此，以下问题也在审查之中：(I) 进一步研究极限 $n \to 0$，其中描述了有限界面及解在 $y \to \infty$ 时的行为。特别是对于 $N=1$，界面发散如下：$|x_0(t)| \sim 10 \left( \frac{1}{n}\sec\left( \frac{4\pi}{9} \right) \right)^{\frac 9{10}} t^{\frac 1{10}} \to \infty$ 当 $n \to 0^+$。(II) 对于固定的 $n \in (0, \frac 98)$，界面附近解的振荡结构。(III) 同样对于固定的 $n \in (0, \frac 98)$，通过数值与解析方法相结合，研究某些非线性特征函数 $\{f_\gamma\}_{|\gamma| \ge 0}$ 的全局结构。