Calabi 同态、Lagrangian 路径与特殊 Lagrangian 子流形

设 $\OO$ 为辛流形 $(X,\omega)$ 的 Lagrangian 子流形空间上作用的 Hamilton 辛同胚群的轨道。对于每个满足 $\beta \wedge \omega = 0$ 及某一恰当性条件的中次数微分形式 $\beta$，我们定义了一个泛函 $\CC:\OO \to \R$。若该恰当性条件不成立，则 $\CC$ 定义在 $\OO$ 的万有覆叠上。$\CC$ 的一个特例恢复了 Calabi 同态。若 $\beta$ 是全纯体积形式的虚部，则 $\CC$ 的临界点即为特殊 Lagrangian 子流形。我们提供了证据表明，通过镜像对称，$\CC$ 与 Donaldson 引入的用于研究全纯向量丛上 Einstein-Hermitian 度量的泛函相关。特别是，我们证明了 $\CC$ 在开子空间 $\OO^+ \subset \OO$ 上是凸的。作为前提，我们在 $\OO^+$ 上定义了黎曼度量并分析了其测地线。最后，我们讨论了通量同态到 Lagrangian 子流形空间的推广，以及通量猜想的 Lagrangian 类比。