卡拉比 - 丘西格玛模型$tt^*$方程的代数结构

$tt^*$方程定义了$2d, \mathcal{N}=2$量子场论模空间上的平坦联络。对于中心荷$c=3d$的共形理论（可实现为到卡拉比 - 丘$d$-fold 的非线性西格玛模型），该平坦联络等价于三维流形的特殊几何及其在其他维度的类比。我们证明了在$d=1,2,3$的情况下，$tt^*$方程的非全纯内容可以由有限个特殊函数生成元捕获，这些生成元在微分下封闭。这些生成元被理解为更大模空间上的坐标。该空间参数化了在保持恒定拓扑度量的同时选择手征环代表元的自由度。从几何上看，这种自由度对应于在目标空间上选择尊重霍奇滤过并具有恒定配对的形式。该空间上向量场的线性组合被识别为李代数的生成元。该李代数取代了$tt^*$的非全纯导数，并为其提供了更精细的代数意义。对于进入晶格极化$K3$流形的西格玛模型，构建了模空间上特殊函数的微分环，扩展了$d=1$和 3 的已知结构。特殊函数微分环的生成元在$d=1$时为拟模形式，在$d=2,3$时为其推广。我们计算了一些显式例子，包括$CP^3$中四次曲面的镜像情况，由于进一步的代数约束，其微分环与拟模形式重合。