tt*几何之间的LG/CY对应

$tt^*$几何结构的概念由物理学家引入(见\cite{CV1, BCOV}及其中的参考文献),随后由 C. Hertling \cite{Het1} 首次在数学上研究。人们相信 $tt^*$ 几何结构包含二维拓扑场论的整个亏格 $0$ 信息。在本文中,我们提出 $tt^*$ 几何的 LG/CY 对应猜想并得到如下结果。令 $f\in\mathbb{C}[z_0, \dots, z_{n+2}]$ 为次数 $n+2$ 的非退化齐次多项式,则它定义一个由 $\mathbb{CP}^{n+1}$ 中 Calabi-Yau 超曲面 $X_f$ 表示的 Calabi-Yau 模型,或一个由超曲面奇点 $(\mathbb{C}^{n+2}, f)$ 表示的 Landau-Ginzburg 模型,两者皆可写为 $tt^*$ 结构。我们证明了 Landau-Ginzburg 侧存在一个 $tt^*$ 子结构,它应对应于 Calabi-Yau 侧由 Hodge 结构变分给出的 $tt^*$ 结构。我们建立了这两类模型间 $tt^*$ 几何中几乎所有结构的同构,实结构间的同构除外。