渐近反德西特时空中爱因斯坦方程的体-边界对应

本文考虑具有共形边界$(\mathscr{I}, \mathfrak{g})$的真空渐近反德西特时空$(\mathscr{M}, g)$。我们建立了此类时空与其在$\mathscr{I}$上的共形边界数据之间的近$\mathscr{I}$对应。更具体地，给定区域$\mathscr{D} \subset \mathscr{I}$，我们证明只要$\mathscr{D}$满足广义零凸性条件（GNCC），从边界对度量$g$的Fefferman-Graham展开中的系数$\mathfrak{g}^{(0)} = \mathfrak{g}$和$\mathfrak{g}^{(n)}$（未定项或应力能量张量）就能唯一确定$\mathscr{D}$附近的$g$。GNCC是Chatzikaleas和第二作者首次确定的$\mathscr{D}$上的共形不变判据，它确保$\mathscr{M}$中$\mathscr{D}$附近的伪凸超曲面叶状结构，且伪凸性在趋于$\mathscr{D}$的极限处退化。作为该结果的推论，我们推得在满足GNCC的$\mathscr{D} \subset \mathscr{I}$上$(\mathfrak{g}^{(0)}, \mathfrak{g}^{(n)})$的共形对称性可延拓为$\mathscr{D}$附近的时空对称性。证明不要求任何解析性假设，依赖于三个关键要素：（1）为此设定发展的垂直张量场演算；（2）用于度量和曲率量之差的传输与波动方程的新颖系统；（3）近期建立的共形边界附近张量波动方程的Carleman估计。