数值半群的 Buchweitz 集

设 $A \subset {\mathbb Z}$ 为一个有限子集。我们用 $\mathcal{B}(A)$ 表示所有满足 $|nA| > (2n-1)(|A|-1)$ 的整数 $n \ge 2$ 的集合，其中 $nA=A+\cdots+A$ 表示 $A$ 的 $n$ 重和集。考虑 $\mathcal{B}(A)$ 的动机源于 Buchweitz 在 1980 年的发现：若一个数值半群 $S \subseteq {\mathbb N}$ 是 Weierstrass 半群，则 $\mathcal{B}({\mathbb N} \setminus S) = \emptyset$。通过构造该条件不成立的情形，Buchweitz 推翻了 Hurwitz（1893）的一个长期猜想。本文证明：对于任意亏格 $g \ge 2$ 的数值半群 $S \subset {\mathbb N}$，集合 $\mathcal{B}({\mathbb N} \setminus S)$ 是有限的，且当其随 $S$ 变化时基数无界。