实射影平面的辫群与 Fadell-Neuwirth 短正合列

我们研究实射影平面 $RP^2$ 的纯辫群 $P_n(RP^2)$，特别是 Fadell-Neuwirth 短正合列 $1 \to P_m(RP^2 {x_1,...,x_n} \to P_{n+m}(RP^2) \stackrel{p_{\ast}}{\to} P_n(RP^2) \to 1$ 的可能分裂，其中 $n\geq 2$ 且 $m\geq 1$，而 $p_{\ast}$ 是几何上对应于遗忘最后 $m$ 根弦的同态。该问题等价于构型空间的相关纤维化 $p: F_{n+m}(RP^2) \to F_n(RP^2)$ 是否存在截面。Van Buskirk 于 1966 年证明了若 $n=2$ 且 $m=1$，则 $p$ 和 $p_{\ast}$ 允许存在截面。本文的主要结果是证明若 $n\geq 3$ 则不存在截面。作为推论，可知 $n=2$ 且 $m=1$ 是存在截面的唯一取值。作为证明的一部分，我们导出了 $P_n(RP^2)$ 的一个展示：这似乎是文献中首次给出此类展示。