Borel 变换与线性非局部方程：在 zeta 非局部场模型中的应用

我们严格定义了形如 $f(\partial_t)$ 的算符，其中 $f$ 是单连通域上的解析函数。我们的形式体系基于指数型整函数的 Borel 变换。我们研究了时间非局部方程 \begin{equation*} f(\partial_t) \phi = J(t) \; \; , \quad t\in \mathbb{R}\; , \end{equation*} 的实值解的存在性与正则性，并将其最一般的解求为指数型整函数在 $\mathbb{R}$ 上的限制。作为一个重要的特例，我们显式求解了线性非局部 zeta 场方程 \begin{equation*} \zeta(\partial_t^2+h)\phi = J(t)\; , \end{equation*} 其中 $h$ 为实参数，$\zeta$ 为 Riemann zeta 函数，$J$ 为指数型整函数。我们还分析了 $J$ 为更一般解析函数（满足某些弱技术性假设）的情形。该情形相当微妙：我们需要重新解释符号 $\zeta(\partial_t^2+h)$ 并离开指数型函数类。我们证明在此情形下上述 zeta 非局部方程在由 $J$ 确定的 Runge 域上容许一个解析解。线性 zeta 场方程是基于 $p$-进弦论出现的依赖于 Riemann zeta 函数的场模型的线性版本。