遍历理论中方函数在 $L^{\infty}$ 中的行为

本文仔细分析了源自遍历理论的方函数 $S$ 和 $S_\mathcal I$ 在 $L^\infty(\mathbb R)$ 中的行为。首先，我们证明可以找到某个函数 $f\in L^\infty(\mathbb{R})$，使得 $Sf$ 在一个测度非零的集合上等于无穷大。其次，我们可以找到紧支集函数 $f\in L^\infty(\mathbb{R})$ 和 $\mathcal I$，使得 $S_\mathcal{I} f$ 不属于 $BMO$ 空间。最后，我们证明 $S$ 是从 $L^{\infty}_c$ 到 $BMO$ 空间的有界算子。作为推论，我们解决了 Jones, Kaufman, Rosenblatt 和 Wierdl 在 \cite{JKRW98} 中提出的一个公开问题。即，对于 $2<p<\infty$，$S_\mathcal I$ 关于 $\mathcal I$ 在 $L^p(\mathbb R)$ 中是一致有界的。