鞅传输的 Bass 泛函

鞅最优传输领域一个有趣的问题，是确定具有给定初值与终值边缘分布的、与布朗运动相关性最强的鞅。在必要且充分的不可约条件下，该问题的答案由 $\textit{Bass 鞅}$ 给出。在直观层面上，后者可被想象为对以初分布 $\alpha$ 开始的底层布朗运动进行保序且保鞅的空间变换，$\alpha$ 被调节以确保边缘约束。在本文中我们研究如何确定上述初值条件 $\alpha$。这是通过对我们称之为 $\textit{Bass 泛函}$ 的对象的细致研究来完成的。在我们的主要结果中，我们证明了 Bass 泛函极小元的存在性与具有给定边缘分布的 Bass 鞅的存在性之间的等价性。这以纯变分视角补充了本文作者与 M. Beiglböck 合著的姊妹篇中的凸对偶方法。我们还建立了该结果的一个无穷小版本，并进一步证明了 Bass 泛函沿 $2$-Wasserstein 空间中某些广义测地线的位移凸性。