正则化非平衡最优输运作为关于分支布朗运动的熵最小化

我们考虑在初始和最终时刻的密度约束下，最小化一个概率律关于参考分支布朗运动之律的熵的问题。通过与参考过程为布朗运动的薛定谔问题进行类比，我们称此问题为分支薛定谔问题。薛定谔问题与正则化（亦称熵）最优输运相关，而我们在此研究分支薛定谔问题与正则化非平衡最优输运的联系。这种联系在两个层面上得以展示。首先，基于对偶性论证，这两个变分法问题的值相关联，即正则化非平衡最优输运的值（视为初始和最终测度的函数）是分支薛定谔问题值的下半连续松弛。其次，我们还明确给出了这两个问题的竞争者之间的对应关系，为此，我们提供了对关于参考分支布朗运动具有有限熵的律的精细描述。我们研究了小噪声极限，即当分支布朗运动的噪声强度趋于$0$时：在此情况下，我们在最优输运模型层面证明存在向部分最优输运的收敛。我们还提供了形式化的论证，说明为何考察分支布朗运动，而非其他测度值分支马尔可夫过程（如超过程），会产生最接近最优输运的问题。最后，我们解释了如何数值求解该问题：正则化非平衡最优输运的动力学形式可以被离散化并通过凸优化求解。