信息半鞅最优传输
最优化与控制
2024-12-17 v3
摘要
信息最优传输（EOT），也称为薛定谔问题，寻求寻找具有给定初始/最终边际分布的随机过程，并相对于参考测度具有最小相对熵。相对熵迫使两个测度共享相同的支持，只能调整受控过程的漂移，扩散则由参考测度决定。因此，从第一眼看来，半鞅最优传输（SMOT）问题（见 [1]）似乎不适用于信息正则化技术的应用，而这些技术从计算角度看非常吸引人。然而，当过程仅在离散时间观察到时，因而成为马尔可夫链，其相对熵即使在扩散系数可变的情况下仍可保持有限，离散半鞅可作为 (多边际) EOT 问题的解。给定 (光滑) 半鞅，其时间离散化的相对熵按时间步长缩放后收敛到所谓的“特定相对熵”，这是其方差过程的一个凸函数，类似于 SMOT 中使用的数值。本文利用这一观察结果构建连续 SMOT 问题的时间离散化。这使得可以通过多边际 Sinkhorn 算法计算连续 SMOT 问题的离散近似值，而无需求解由对偶问题关联的非线性 Hamilton-Jacobi-Bellman PDE（如 [1, 2] 所示）。我们证明了时间离散信息问题对连续问题的收敛结果，提出了实现方法并提供数值实验支持理论收敛。
引用
@article{arxiv.2408.09361,
title = {Entropic Semi-Martingale Optimal Transport},
author = {Jean-David Benamou and Guillaume Chazareix and Marc Hoffmann and Grégoire Loeper and François-Xavier Vialard},
journal= {arXiv preprint arXiv:2408.09361},
year = {2024}
}