带边缘矩约束的最优传输问题逼近

最优传输（OT）问题出现在从物理到经济的广泛应用之中。获得这些问题的数值近似解是一个具有实际重要性的挑战性问题。在这项工作中，我们研究当边缘约束被某些矩约束替代时 OT 问题的松弛。利用 Tchakaloff 定理，我们证明矩约束最优传输问题（MCOT）可由一个有限离散测度实现。有趣的是，对于多边缘 OT 问题，该测度加权的点数随边缘律的数量线性缩放，这对于规避维数灾难是令人鼓舞的。这种逼近方法也与鞅 OT 问题相关。我们证明了 MCOT 问题向相应 OT 问题的收敛性。在一些基本情形下，我们获得了 $O(1/n)$ 或 $O(1/n^2)$ 的收敛速率，其中 $n$ 为矩的数量，这说明了矩函数的作用。最后，我们提出了利用 MCOT 由有限离散测度实现这一事实的算法，并给出了逼近的数值例子。