超越离散测度的多边际最优传输可行且近似最优解的数值方法
最优化与控制
2025-12-29 v6 数值分析
数值分析
概率论
摘要
我们提出一种用于计算涉及不一定离散的一般概率测度的多边际最优传输（MMOT）问题的数值算法。通过发展一种将边际约束替换为有限多个线性约束的松弛格式，并证明针对该设定量身定制的对偶结果，我们将 MMOT 问题近似为线性半无限优化问题。此外，我们能够恢复 MMOT 问题的可行且近似最优解，并且在温和条件下其次优性可控制得任意接近 0。所发展的近似格式导出一个数值算法，可计算具有任意小次优性的 MMOT 问题的可行且近似最优解。除近似最优解外，该算法还计算 MMOT 问题最优值的上下界。所计算界之差为计算所得近似最优解提供了显式次优性界。我们在三个数值实验中演示了所提算法：一个源自流体力学的 MMOT 问题、Wasserstein 重心问题，以及一个具 100 个边际的大规模 MMOT 问题。我们观察到，我们的算法能够计算这些 MMOT 问题的高质量解，且计算所得次优性界在所有实验中均远小于其理论上限。此外，我们将算法与现有基于正则化的算法比较以展示其优势。
引用
@article{arxiv.2203.01633,
title = {Numerical method for feasible and approximately optimal solutions of multi-marginal optimal transport beyond discrete measures},
author = {Ariel Neufeld and Qikun Xiang},
journal= {arXiv preprint arXiv:2203.01633},
year = {2025}
}