Bass 功能在马尔可夫最优传输中的梯度流

给定 $\mu$ 和 $\nu$，它们是 $\mathbb R^d$ 上凸序下的概率测度，马尔可夫 Bass 是最自然的以律 $\mu$ 开头、以律 $\nu$ 结束的马尔可夫过程。事实上，这一马尔可夫过程通过拉伸参考布朗运动来满足数据 $\mu,\nu$。除非 $\mu$ 是一个 Dirac，否则 Bass 马尔可夫的存在是一个微妙的主题，因为例如必须允许参考布朗运动具有非平凡的初始分布 $\alpha$，而该分布是事先未知的。因此，获得 Bass 马尔可夫的关键在于找到 $\alpha$。在 \cite{BaSchTsch23} 中已证明 $\alpha$ 是所谓 Bass 功能的最小化者。本文我们提出通过跟随其梯度流来最小化该函数，更准确地说，是其 $L^2$-提升的梯度流。在我们的主要结果中，我们证明了该梯度流在范数中收敛到 Bass 功能的最小化者，当 $d=1$ 时我们进一步建立了收敛是指数级的。