矩阵核的平均大小与线性群轨道

设 $\mathfrak{O}$ 为特征零的紧离散赋值环。给定 $\mathfrak{O}$ 上的矩阵模 $M$，我们研究在 $\mathfrak{O}$ 的有限商上编码 $M$ 中元素核的平均大小的生成函数。我们证明这些生成函数的有理性和基本性质，并对各种自然模族 $M$ 显式确定它们。利用 $p$-adic Lie 理论，我们进而表明这些生成函数的特例枚举了合适的线性 pro-$p$ 群的轨道和共轭类。